Principes fondamentaux et lois de l'algèbre de la logique

Mathématicien irlandais du milieu du XIXe siècle George Bull développé l'algèbre de la logique ("Étude des lois de la pensée"). C'est pourquoi l'algèbre de la logique est aussi appelée Algèbre de Boole.

En donnant des désignations de lettres, en exprimant les opérations de transformations logiques en symboles d'action et en utilisant les règles et les axiomes établis pour ces actions, l'algèbre de la logique permet de décrire entièrement dans les algorithmes le processus de raisonnement dans la résolution d'un problème donné en termes de logique d'énoncé. , c'est-à-dire d'avoir un programme écrit mathématiquement résolvant ce problème.

Pour désigner la vérité ou la fausseté des énoncés (c'est-à-dire introduire des valeurs pour évaluer les énoncés), l'algèbre de la logique utilise un système binaire, pratique dans ce cas. Si l'énoncé est vrai, il prend la valeur 1, s'il est faux, il prend la valeur 0. Contrairement aux nombres binaires, les 1 et les 0 logiques n'expriment pas une quantité, mais un état.

Ainsi, dans les circuits électriques décrits à l'aide de l'algèbre booléenne, où 1 est la présence de tension et 0 est son absence, la fourniture de tensions de plusieurs sources à un nœud du circuit (c'est-à-dire l'arrivée de plusieurs unités logiques de celui-ci) est apparaît également comme une unité logique qui indique non pas la tension totale au nœud, mais seulement sa présence.

Lors de la description des signaux d'entrée et de sortie des circuits logiques, des variables sont utilisées qui prennent les valeurs de 0 ou 1 logique uniquement. La dépendance des signaux de sortie à l'entrée est déterminée opération logique (fonction)… Notons les variables d'entrée par X1 et X2, et la sortie obtenue par une opération logique sur celles-ci par y.

Réfléchir trois opérations logiques élémentaires de base, à l'aide desquels on peut en décrire des de plus en plus complexes.

1. Opération OU — addition logique :

Étant donné toutes les valeurs possibles des variables, on peut définir l'opération OU comme la suffisance d'au moins une unité dans l'entrée pour en produire une dans la sortie. Le nom de l'opération s'explique par la signification sémantique de l'union OR dans la phrase : « Si OR est une entrée OU la seconde est une, alors la sortie est une ».

2. Opération ET — multiplication logique :

En considérant l'ensemble complet des valeurs des variables, l'opération AND est définie comme la nécessité de faire correspondre tous ceux des entrées pour obtenir un un sur la sortie : "Si AND est une entrée et la seconde est un, alors la sortie est un. «

3. Opération NON — négation ou inversion logique. Elle est indiquée par une barre au-dessus de la variable.

Lorsqu'elle est inversée, la valeur de la variable est inversée.

Lois de base de l'algèbre logique :

1. La loi de l'ensemble zéro : le produit de n'importe quel nombre de variables s'annule si l'une des variables est nulle, quelles que soient les valeurs des autres variables :

2. La loi de l'ensemble universel — la somme d'un nombre quelconque de variables devient un si au moins une des variables a la valeur un, quelles que soient les autres variables :

3. La loi de la répétition — les variables répétées dans l'expression peuvent être omises (en d'autres termes, il n'y a pas d'exponentiation et de multiplication par un coefficient numérique en algèbre booléenne) :

4. La loi de la double inversion — l'inversion effectuée deux fois est une opération vide :

5. Loi de complémentarité — le produit de chaque variable et de son inverse est nul :

6. La somme de chaque variable et de son inverse est un :

7. Lois protectrices — le résultat des opérations de multiplication et d'addition ne dépend pas de l'ordre dans lequel les variables suivent :

8. Lois combinées — lors des opérations de multiplication et d'addition, les variables peuvent être regroupées dans n'importe quel ordre :

9. Lois de distribution — il est permis de mettre le coefficient total en dehors des parenthèses :

10. Lois d'absorption — indiquer des manières de simplifier les expressions impliquant une variable dans tous les facteurs et termes :

11. Les lois de De Morgan — l'inversion du produit est la somme des inversions des variables :

l'inversion de la somme est le produit des inversions des variables :