Représentation graphique des valeurs sinusoïdales
Dans tout circuit linéaire, quel que soit le type d'éléments inclus dans le circuit, une tension harmonique provoque un courant harmonique, et inversement, un courant harmonique génère des tensions aux bornes de ces éléments également de forme harmonique. Notez que l'inductance des bobines et la capacité des condensateurs sont également supposées linéaires.
Dans un cas plus général, on peut dire que dans les circuits linéaires à influences harmoniques, toutes les réactions ont également une forme harmonique. Par conséquent, dans tout circuit linéaire, toutes les tensions et tous les courants instantanés ont la même forme harmonique. Si le circuit contient au moins quelques éléments, alors il y a beaucoup de courbes sinusoïdales, ces chronogrammes se chevauchent, il est très difficile de les lire, et l'étude devient extrêmement gênante.
Pour ces raisons, l'étude des processus se produisant dans les circuits sous influences harmoniques n'est pas effectuée avec des courbes sinusoïdales et en utilisant des vecteurs dont les longueurs sont prises proportionnellement aux valeurs maximales des courbes et aux angles auxquels les vecteurs sont placés sont égaux aux angles entre l'origine de deux courbes ou l'origine de la courbe et l'origine.Ainsi, au lieu de diagrammes temporels, qui prennent beaucoup de place, leurs images sont affichées sous forme de vecteurs, c'est-à-dire des lignes droites avec des flèches aux extrémités, et les flèches pour les vecteurs de tension sont représentées ombrées, et pour les vecteurs de courant ils sont laissés sans ombrage.
L'ensemble des vecteurs de tensions et de courants dans un circuit est appelé diagramme vectoriel… La règle pour compter les angles dans les diagrammes vectoriels est la suivante : s'il est nécessaire de montrer un vecteur en retard par rapport à la position de départ d'un certain angle, faites pivoter le vecteur dans le sens des aiguilles d'une montre de cet angle. Un vecteur tourné dans le sens inverse des aiguilles d'une montre signifie avancer de l'angle spécifié.
Par exemple, dans le schéma de la fig. La figure 1 montre trois chronogrammes avec les mêmes amplitudes mais des phases initiales différentes... Il faut donc que les longueurs des vecteurs correspondant à ces tensions harmoniques soient les mêmes et que les angles soient différents. Dessinons des axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires, prenons l'axe horizontal avec des valeurs positives comme départ, dans ce cas, le vecteur de la première contrainte doit coïncider avec la partie positive de l'axe horizontal, le vecteur de la deuxième contrainte doit être tourné dans le sens des aiguilles d'une montre d'un angle ψ2 , et le troisième vecteur tension doit être dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. flèches en biais (Fig. 1).
Les longueurs des vecteurs dépendent de l'échelle choisie, parfois ils sont dessinés avec une longueur arbitraire en fonction des proportions. Étant donné que les valeurs maximales et efficaces de toutes les grandeurs harmoniques diffèrent toujours du même nombre de fois (en √2 = 1,41), les valeurs maximales et efficaces peuvent être tracées sur des diagrammes vectoriels.
Le chronogramme montre la valeur de la fonction harmonique à tout moment selon l'équation ti = Um sin ωt. Un graphique vectoriel peut également afficher les valeurs à tout moment. Pour cela, il faut représenter le vecteur tournant dans le sens antihoraire avec une vitesse angulaire ω et prendre la projection de ce vecteur sur l'axe vertical. Les longueurs de projection résultantes obéiront à la loi ti = Um sinωt et représenteront donc des valeurs instantanées à la même échelle.Le sens de rotation du vecteur dans le sens antihoraire est considéré comme positif et dans le sens horaire est considéré comme négatif.
Figue. 1
Figue. 2
Figue. 3
Considérons un exemple de détermination de valeurs de tension instantanées à l'aide d'un diagramme vectoriel. Sur le côté droit de la fig. 2 montre un diagramme temporel et à gauche un diagramme vectoriel. Soit l'angle de phase initial égal à zéro. Dans ce cas, à l'instant t = 0, la valeur instantanée de la tension est nulle, et le vecteur correspondant à ce chronogramme est confondu avec le sens positif de l'axe des abscisses, la projection de ce vecteur sur l'axe vertical à cet instant est également nul, t .is la longueur de la projection correspond à la valeur instantanée de l'onde sinusoïdale.
Au bout du temps t = T/8, l'angle de phase devient égal à 45°, et la valeur instantanée Um sin ωt = Um sin 45° = = 0,707 Um. Mais le vecteur rayon pendant ce temps tournera également à un angle de 45 ° et la projection de ce vecteur deviendra également 0,707 Um. Après t = T/4, la valeur instantanée de la courbe atteindra U, mais le rayon vecteur est également tourné de 90°. La projection sur l'axe vertical en ce point deviendra égale au vecteur lui-même, dont la longueur est proportionnelle à la valeur maximale.De même, vous pouvez déterminer les valeurs actuelles à tout moment.
Ainsi, toutes les opérations qui d'une manière ou d'une autre doivent être effectuées avec des courbes sinusoïdales sont réduites à des opérations effectuées non pas avec les sinusoïdes elles-mêmes, mais avec leurs images, c'est-à-dire avec leurs vecteurs correspondants. Par exemple, il y a un circuit sur la fig. 3, a, dans laquelle il faut déterminer la courbe équivalente des valeurs de tension instantanées. Pour construire graphiquement une courbe généralisée, il est nécessaire de réaliser une opération très lourde consistant à additionner graphiquement deux courbes remplies de points (Fig. 3, b). Pour additionner analytiquement deux sinusoïdes, il faut trouver la valeur maximale de la sinusoïde équivalente :
et la phase initiale
(Dans cet exemple, Um eq est obtenu égal à 22,36 et ψek = 33 °.) Les deux formules sont lourdes, extrêmement gênantes pour les calculs, elles sont donc rarement utilisées en pratique.
Remplaçons maintenant les sinusoïdes temporales par leurs images, c'est-à-dire par des vecteurs. Choisissons une échelle et mettons de côté le vecteur Um1, qui est en retard de 30 sur l'origine des coordonnées, et le vecteur Um2, qui a une longueur 2 fois supérieure au vecteur Um1, avançant l'origine des coordonnées de 60 ° (Fig. 3, c) . Le dessin après un tel remplacement est considérablement simplifié, mais toutes les formules de calcul restent les mêmes, car l'image vectorielle des quantités sinusoïdales ne change pas l'essence de la matière: seul le dessin est simplifié, mais pas les relations mathématiques qu'il contient (sinon, le remplacement des diagrammes temporels par des vecteurs serait tout simplement illégal.)
Ainsi, remplacer les grandeurs harmoniques par leurs représentations vectorielles ne facilite toujours pas la technique de calcul si ces calculs doivent être effectués selon les lois des triangles obliques. Afin de simplifier considérablement la technologie de calcul des quantités vectorielles, une méthode de calcul symbolique.