Pourquoi les nombres complexes sont utilisés pour les calculs dans les circuits AC

Comme vous le savez, les nombres complexes sont utilisés pour résoudre certains problèmes typiques en génie électrique. Mais à quoi servent-ils et pourquoi est-ce fait de cette façon ? C'est ce que nous essaierons de comprendre au cours de cet article. Le fait est que la méthode complexe ou la méthode des amplitudes complexes est pratique pour calculer des circuits AC complexes. Et pour commencer, rappelons quelques bases de mathématiques :

Comme vous pouvez le voir, le nombre complexe z comprend la partie imaginaire et la partie réelle, qui diffèrent l'une de l'autre et sont notées différemment dans le texte. Le nombre complexe z lui-même peut s'écrire sous forme algébrique, trigonométrique ou exponentielle :

Contexte historique

On pense que l'idée des nombres imaginaires a commencé en 1545, lorsque le mathématicien, ingénieur, philosophe, médecin et astrologue italien Girolamo Cardano a publié cette méthode de résolution d'équations dans son traité "Le Grand Art", où, selon entre autres , il a avoué que Niccolò lui en avait donné l'idée à Tartaglia (un mathématicien italien) 6 ans avant la publication de cet ouvrage. Dans son travail, Kradano résout des équations de la forme :

Lors du processus de résolution de ces équations, le scientifique a été contraint d'admettre l'existence d'un nombre «irréel», dont le carré sera égal à moins un «-1», c'est-à-dire comme s'il existait une racine carrée d'un nombre négatif, et s'il est maintenant au carré, se révélera être le nombre négatif correspondant sous la racine. Cardano a énoncé la règle de multiplication, selon laquelle :

Pendant trois siècles, la communauté mathématique était en train de s'habituer à la nouvelle approche proposée par Cardano. Les nombres imaginaires s'enracinent peu à peu, mais les mathématiciens hésitent à accepter. Ce n'est qu'à la publication des travaux de Gauss sur l'algèbre, où il a prouvé le théorème fondamental de l'algèbre, que les nombres complexes ont finalement été pleinement acceptés, le 19ème siècle était à portée de main.

Les nombres imaginaires sont devenus une véritable bouée de sauvetage pour les mathématiciens car les problèmes les plus complexes devenaient beaucoup plus faciles à résoudre en acceptant l'existence des nombres imaginaires.

Il est donc rapidement venu à l'électrotechnique. Les circuits alternatifs étaient parfois très complexes et de nombreuses intégrales devaient être calculées pour les calculer, ce qui était souvent très gênant.

Enfin, en 1893, le brillant ingénieur électricien Carl August Steinmetz s'exprima à Chicago lors du Congrès électrotechnique international avec un rapport "Les nombres complexes et leur application en génie électrique", qui marqua en fait le début de l'application pratique par les ingénieurs de la méthode complexe de calculer des circuits électriques pour le courant alternatif.

Nous le savons depuis le cours de physique courant alternatif — c'est un courant qui change dans le temps en amplitude et en direction.

Dans la technologie, il existe différentes formes de courant alternatif, mais la plus courante aujourd'hui est le courant sinusoïdal alternatif, c'est ce qui est utilisé partout, à l'aide duquel l'électricité est transmise, sous forme de courant alternatif, qui est généré, converti par transformateurs et est consommée par les charges. Un courant sinusoïdal change périodiquement selon une loi sinusoïdale (harmonique).

Les valeurs efficaces du courant et de la tension sont inférieures aux valeurs d'amplitude de la racine de deux fois :

Dans la méthode complexe, les valeurs efficaces des courants et des tensions s'écrivent comme suit :

Notez qu'en génie électrique, l'unité imaginaire est désignée par la lettre «j», puisque la lettre «i» est déjà utilisée ici pour désigner le courant.

Depuis Loi d'Ohm détermine la valeur complexe de la résistance :

L'addition et la soustraction de valeurs complexes se font sous forme algébrique, et la multiplication et la division sous forme exponentielle.

Considérons la méthode des amplitudes complexes en utilisant l'exemple d'un circuit spécifique avec certaines valeurs des paramètres principaux.

Exemple de résolution d'un problème avec des nombres complexes

Donné:

• tension de bobine 50 V,

• résistance de résistance 25 Ohm,

• inductance de bobine 500 mH,

• la capacité électrique du condensateur est de 30 microfarads,

• résistance de bobine 10 Ohm,

• fréquence secteur 50 Hz.

Trouver: lectures d'ampèremètre et de voltmètre ainsi que wattmètre.

Répondre:

Pour commencer, nous écrivons la résistance complexe des éléments connectés en série, qui se compose de parties réelles et imaginaires, puis nous trouvons la résistance complexe d'un élément actif-inductif.

Se souvenir ! Pour obtenir la forme exponentielle, trouver le module z égal à la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire, et phi égal à l'arc tangente du quotient de la partie imaginaire divisé par la partie réelle.

Ensuite, nous trouvons le courant et, en conséquence, les lectures de l'ampèremètre:

L'ampèremètre indique donc un courant de 0,317 A, c'est-à-dire le courant traversant tout le circuit en série.

Nous allons maintenant trouver la résistance capacitive du condensateur, puis nous déterminerons sa résistance complexe :

On calcule alors l'impédance complexe totale de ce circuit :

Maintenant, nous trouvons la tension efficace appliquée au circuit :

Le voltmètre affichera une tension effective de 19,5 volts.

Enfin, on trouve la puissance que le wattmètre affichera en tenant compte du déphasage entre le courant et la tension

Le wattmètre affichera 3,51 watts.

Vous comprenez maintenant l'importance des nombres complexes en génie électrique. Ils sont utilisés pour le calcul pratique des circuits électriques. De nombreux appareils de mesure électroniques fonctionnent sur la même base.