Une méthode symbolique pour calculer les circuits alternatifs

Une méthode symbolique d'opérations sur grandeurs vectorielles repose sur une idée très simple : chaque vecteur est décomposé en deux composantes : l'une horizontale, passant par l'abscisse, et la seconde, verticale, passant par l'ordonnée. Dans ce cas, toutes les composantes horizontales suivent une droite et peuvent s'additionner par simple addition algébrique, et les composantes verticales s'additionnent de la même manière.

Cette approche aboutit généralement à deux composants résultants, un horizontal et un vertical, qui sont toujours adjacents l'un à l'autre au même angle de 90°.

Ces composants peuvent être utilisés pour trouver le résultat, c'est-à-dire pour l'addition géométrique. Les composantes à angle droit représentent les jambes d'un triangle rectangle et leur somme géométrique représente l'hypoténuse.

On peut aussi dire que la somme géométrique est numériquement égale à la diagonale d'un parallélogramme construit sur les composantes ainsi que sur ses côtés... Si la composante horizontale est notée AG et la composante verticale par AB, alors la somme géométrique ( 1)

Trouver la somme géométrique des triangles rectangles est beaucoup plus facile que les triangles obliques. Il est facile de voir que (2)

devient (1) si l'angle entre les composants est de 90°. Puisque cos 90 = 0, le dernier terme de l'expression radicale (2) disparaît, ce qui simplifie grandement l'expression. Notez qu'un des trois mots doit être ajouté avant le mot "somme": "arithmétique", "algébrique", "géométrique".

Figue. 1.

Le mot "montant" sans préciser lequel conduit à une incertitude et dans certains cas à des erreurs grossières.

Rappelons que le vecteur résultant est égal à la somme arithmétique des vecteurs dans le cas où tous les vecteurs suivent une ligne droite (ou parallèles entre eux) dans la même direction. De plus, tous les vecteurs ont un signe plus (Fig. 1, a).

Si les vecteurs suivent une ligne droite mais pointent dans des directions opposées, alors leur résultat est égal à la somme algébrique des vecteurs, auquel cas certains termes ont un signe plus et d'autres un signe moins.

Par exemple, dans le schéma de la fig. 1, b U6 = U4 — U5. On peut aussi dire que la somme arithmétique est utilisée dans les cas où l'angle entre les vecteurs est nul, algébrique lorsque les angles sont de 0 et 180°. Dans tous les autres cas, l'addition est effectuée vectoriellement, c'est-à-dire que la somme géométrique est déterminée (Fig. 1, c).

Exemple... Déterminer les paramètres de l'onde sinusoïdale équivalente pour le circuit Fig. 2, mais symbolique.

Répondre. Dessinons les vecteurs Um1 Um2 et décomposons-les en composantes. On peut voir sur le dessin que chaque composante horizontale est la valeur vectorielle multipliée par le cosinus de l'angle de phase, et la verticale est la valeur vectorielle multipliée par le sinus de l'angle de phase. Alors

Figue. 2.

Évidemment, les composantes horizontales et verticales totales sont égales aux sommes algébriques des composantes correspondantes. Alors

Les composants résultants sont représentés sur la Fig. 2, b. Déterminez la valeur de Um pour cela, calculez la somme géométrique des deux composantes :

Déterminer l'angle de phase équivalent ψeq. Figue. 2, b, on peut voir que le rapport de la composante verticale à la composante horizontale est la tangente de l'angle de phase équivalent.

où

La sinusoïde ainsi obtenue a une amplitude de 22,4 V, une phase initiale de 33,5° avec la même période que les composantes. Notez que seules les ondes sinusoïdales de la même fréquence peuvent être ajoutées, car lors de l'ajout de courbes sinusoïdales de fréquences différentes, la courbe résultante cesse d'être sinusoïdale et tous les concepts applicables uniquement aux signaux harmoniques deviennent invalides dans ce cas.

Retraçons une fois de plus toute la chaîne des transformations qu'il faut effectuer avec les descriptions mathématiques des formes d'onde harmoniques lors de divers calculs.

Tout d'abord, les fonctions temporelles sont remplacées par des images vectorielles, puis chaque vecteur est décomposé en deux composantes mutuellement perpendiculaires, puis les composantes horizontale et verticale sont calculées séparément, et enfin les valeurs du vecteur résultant et sa phase initiale sont déterminées.

Cette méthode de calcul élimine la nécessité d'ajouter graphiquement (et dans certains cas d'effectuer des opérations plus complexes, par exemple, multiplier, diviser, extraire des racines, etc.) des courbes sinusoïdales et de recourir à des calculs utilisant les formules des triangles obliques.

Cependant, il est assez fastidieux de calculer séparément les composantes horizontale et verticale de l'opération.Dans de tels calculs, il est très pratique d'avoir un tel appareil mathématique avec lequel vous pouvez calculer les deux composants à la fois.

Déjà à la fin du siècle dernier, une méthode a été développée qui permet des calculs simultanés de nombres tracés sur des axes mutuellement perpendiculaires. Les nombres sur l'axe horizontal étaient appelés réels et les nombres sur l'axe vertical étaient appelés imaginaires. Lors du calcul de ces nombres, un facteur de ± 1 est ajouté aux nombres réels et de ± j aux nombres imaginaires (lire "xi"). Les nombres composés de parties réelles et imaginaires sont appelés complexe, et la méthode de calcul effectuée avec leur aide est symbolique.

Expliquons le terme « symbolique ». Les fonctions à calculer (les harmoniques dans ce cas) sont des originaux, et les expressions qui remplacent les originaux sont des images ou des symboles.

Lors de l'utilisation de la méthode symbolique, tous les calculs sont effectués non pas sur les originaux eux-mêmes, mais sur leurs symboles (images), qui dans notre cas représentent les nombres complexes correspondants, car il est beaucoup plus facile d'effectuer des opérations sur des images que sur les originaux eux-mêmes.

Une fois toutes les opérations d'image terminées, l'original correspondant à l'image résultante est enregistré sur l'image résultante. La plupart des calculs dans les circuits électriques sont effectués à l'aide de la méthode symbolique.