Lois de l'algèbre des circuits de contact, algèbre booléenne

Un enregistrement analytique de la structure et des conditions de fonctionnement des circuits de relais permet d'effectuer des transformations analytiques équivalentes des circuits, c'est-à-dire en transformant des formules structurelles, en trouvant des schémas similaires dans leur fonctionnement. Les méthodes de conversion sont particulièrement développées pour les formules structurelles exprimant des circuits de contact.

Pour les circuits de contact, l'appareil mathématique de l'algèbre de la logique est utilisé, plus précisément, l'une de ses variétés les plus simples, appelée calcul de proposition ou algèbre booléenne (d'après le mathématicien du siècle dernier J. Boole).

Le calcul propositionnel a été développé à l'origine pour étudier la dépendance (la vérité ou la fausseté des jugements complexes sur la vérité ou la fausseté des propositions simples qui les composent. En substance, le calcul propositionnel est une algèbre de deux nombres, c'est-à-dire une algèbre en où chaque argument individuel et chaque fonction peut avoir l'une des deux valeurs.

Cela détermine la possibilité d'utiliser l'algèbre booléenne pour transformer les circuits de contact, puisque chacun des arguments (contacts) inclus dans la formule structurelle ne peut prendre que deux valeurs, c'est-à-dire qu'il peut être fermé ou ouvert, et la fonction entière représentée par la structure la formule peut exprimer soit une boucle fermée, soit une boucle ouverte.

L'algèbre booléenne introduit :

1) objets qui, comme dans l'algèbre ordinaire, ont des noms : variables indépendantes et fonctions — cependant, contrairement à l'algèbre ordinaire, dans l'algèbre booléenne les deux ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 et 1 ;

2) opérations logiques de base :

• addition logique (ou disjonction, OU logique, notée par le signe ?), qui est définie comme suit : le résultat de l'opération est 0 si et seulement si tous les arguments de l'opération sont égaux à 0, sinon le résultat est 1 ;

• multiplication logique (ou concaténation, ET logique, noté ?, ou pas spécifié du tout) qui se définit comme suit : le résultat de l'opération est 1 si et seulement si tous les arguments de l'opération sont égaux à 1, sinon le résultat est 0 ;

• négation (ou inversement, NON logique, indiqué par une barre au-dessus de l'argument), qui est définie comme suit : le résultat de l'opération a la valeur opposée de l'argument ;

3) les axiomes (lois de l'algèbre booléenne), qui définissent les règles de transformation des expressions logiques.

A noter que chacune des opérations logiques peut s'effectuer aussi bien sur des variables que sur des fonctions, que l'on appellera ci-après fonctions booléennes... Rappelons que, par analogie avec l'algèbre ordinaire, en algèbre booléenne, l'opération de multiplication logique a priorité sur l'opération logique opération d'addition.

Les expressions booléennes sont formées en combinant des opérations logiques sur un certain nombre d'objets (variables ou fonctions), appelés arguments de l'opération.

La transformation d'expressions logiques à l'aide des lois de l'algèbre booléenne est généralement effectuée dans le but de minimiser, car plus l'expression est simple, plus la complexité de la chaîne logique, qui est la mise en œuvre technique de l'expression logique, est réduite.

Les lois de l'algèbre booléenne sont présentées comme un ensemble d'axiomes et de conséquences. Celles-ci peuvent être vérifiées tout simplement en substituant différentes valeurs des variables.

L'analogue technique de toute expression logique pour une fonction booléenne est un schéma logique... Dans ce cas, les variables dont dépend une fonction booléenne sont connectées aux entrées externes de ce circuit, la valeur d'une fonction booléenne est formée au sortie externe du circuit, et chaque opération logique dans une expression logique est mise en œuvre par un élément logique.

Ainsi, pour chaque ensemble de signaux d'entrée en sortie du circuit logique, un signal est généré qui correspond à la valeur d'une fonction booléenne de cet ensemble de variables (plus loin, nous utiliserons la convention suivante : 0 = niveau de signal bas , 1 — signal de niveau élevé).

Lors de la construction de circuits logiques, nous supposerons que les variables sont introduites à l'entrée dans un code paraphase (c'est-à-dire que les valeurs directes et inverses des variables sont disponibles).

Le tableau 1 montre les désignations graphiques conventionnelles de certains éléments logiques conformément à GOST 2.743-91, ainsi que leurs homologues étrangers.

En plus des éléments qui effectuent les trois opérations de l'algèbre booléenne (ET, OU, NON), dans l'onglet. 1 montre les éléments qui effectuent des opérations dérivées du principal :

— AND -NOT — négation de la multiplication logique, également appelée mouvement de Schaefer (noté par |)

— OR -NOT — négation du complément logique, aussi appelée flèche de Peirce (notée ?)

En connectant en série des portes logiques ensemble, vous pouvez implémenter n'importe quelle fonction booléenne.

Les formules structurelles exprimant des circuits de relais en général, c'est-à-dire contenant des symboles d'aigles réactifs, ne peuvent être considérées comme des fonctions de deux valeurs exprimant uniquement un circuit fermé ou ouvert. Par conséquent, lorsque vous travaillez avec de telles fonctions, un certain nombre de nouvelles dépendances apparaissent qui dépassent les limites de l'algèbre booléenne.

En algèbre booléenne, il existe quatre paires de lois fondamentales : deux déplacements, deux combinatoires, deux distributifs et deux inversions légales. Ces lois établissent l'équivalence d'expressions différentes, c'est-à-dire qu'elles considèrent les expressions substituables les unes aux autres comme la substitution des identités dans l'algèbre ordinaire. Comme symbole d'équivalence, nous prenons le symbole qui est le même que le symbole d'égalité en algèbre ordinaire (=).

La validité des lois de l'algèbre booléenne pour les circuits de contact sera établie en considérant les circuits correspondant aux côtés gauche et droit d'expressions équivalentes.

Lois sur les voyages

Ajouter : x + y = y + x

Les schémas correspondant à ces expressions sont présentés dans la Fig. 1, un.

Les circuits gauche et droit sont des circuits normalement ouverts, dont chacun se ferme lorsque l'un des éléments (X ou Y) est déclenché, c'est-à-dire que ces circuits sont équivalents. Pour la multiplication : x ·y = y ·NS.

Les schémas correspondant à ces expressions sont présentés dans la Fig. 1b, leur équivalence est également évidente.

Riz. 1

Lois de combinaison

Pour l'addition : (x + y) + z = x + (y + z)

Pour la multiplication : (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Les paires de circuits équivalents correspondant à ces expressions sont représentées sur la Fig. 2, un, b

Riz. 2

Lois de distribution

Multiplication versus addition : (x + y) +z = x + (y + z)

Addition contre Multiplication. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Les schémas correspondant à ces expressions sont présentés dans la Fig. 3, a, b.

Riz. 3.

L'équivalence de ces schémas peut être facilement vérifiée en considérant différentes combinaisons d'actionnement de contact.

Lois d'inversion

Sur addition : NS + c = NS·c

La barre au-dessus du côté gauche de l'expression est un signe de négation ou d'inversion. Ce signe indique que la fonction entière a le sens opposé par rapport à l'expression sous le signe de négation. Il n'est pas possible de tracer un schéma correspondant à la fonction inverse entière, mais on peut tracer un schéma correspondant à l'expression sous le signe négatif. Ainsi, la formule peut être illustrée avec les schémas de la Fig. 4, un.

Riz. 4.

Le diagramme de gauche correspond à l'expression x + y, et celui de droite à NS ·c

Ces deux circuits sont opposés en fonctionnement, à savoir: si le circuit de gauche avec des éléments non excités X, Y est un circuit ouvert, alors le circuit de droite est fermé. Si dans le circuit de gauche, lorsque l'un des éléments est déclenché, le circuit se ferme, et dans le circuit de droite, au contraire, il s'ouvre.

Puisque, par la définition du signe négatif, la fonction x + y est l'inverse de la fonction x + y, alors il est évident que x + y = NS·in.

Concernant la multiplication : NS · c = NS + c

Les schémas correspondants sont illustrés à la fig. 4, b.

Les lois translocatives et combinatoires et la loi distributive de la multiplication par rapport à l'addition (correspondent à des lois similaires de l'algèbre ordinaire).Par conséquent, dans le cas de la transformation des formules structurelles dans l'ordre d'addition et de multiplication des termes, de placement des termes hors des parenthèses et d'expansion des parenthèses, vous pouvez suivre les règles établies pour travailler avec des expressions algébriques ordinaires. La loi distributive d'addition par rapport à la multiplication et les lois d'inversion sont spécifiques à l'algèbre booléenne.