Écoulement et circulation d'un champ de vecteurs

NBasé sur les documents de conférence de Richard Feynman

Lorsque nous décrivons les lois de l'électricité en termes de champs vectoriels, nous sommes confrontés à deux caractéristiques mathématiquement importantes du champ vectoriel : le flux et la circulation. Ce serait bien de comprendre ce que sont ces concepts mathématiques et quelle est leur signification pratique.

Il est facile de répondre d'emblée à la deuxième partie de la question car les notions de flux et de circulation sont au cœur de Les équations de Maxwell, sur laquelle repose en réalité toute l'électrodynamique moderne.

Ainsi, par exemple, la loi de l'induction électromagnétique peut être formulée comme suit : la circulation du champ électrique E le long d'une boucle fermée C est égale à la vitesse de variation du flux du champ magnétique B à travers la surface S délimitée par cette boucle boucle B

Dans ce qui suit, nous décrirons assez simplement, à l'aide d'exemples fluides clairs, comment les caractéristiques de champ sont déterminées mathématiquement, à partir desquelles ces caractéristiques de champ sont prises et obtenues.

Flux de champ vectoriel

Pour commencer, dessinons une certaine surface fermée de forme complètement arbitraire autour de la zone étudiée. Après avoir représenté cette surface, nous nous demandons si l'objet d'étude, que nous appelons un champ, coule à travers cette surface fermée. Pour comprendre de quoi il s'agit, considérons un exemple liquide simple.

Disons que nous étudions le champ de vitesse d'un certain fluide. Pour un tel exemple, il est logique de se demander : est-ce que plus de fluide traverse cette surface par unité de temps qu'il ne s'écoule dans le volume délimité par cette surface ? En d'autres termes, le débit sortant est-il toujours dirigé principalement de l'intérieur vers l'extérieur ?

Par l'expression "flux de champ vectoriel" (et pour notre exemple l'expression "flux de vitesse de fluide" sera plus précise), nous conviendrons de nommer la quantité totale de fluide imaginaire qui traverse la surface du volume considéré délimité par donné a surface fermée (pour le débit de fluide, combien de fluide découle du volume par unité de temps).

En conséquence, le flux à travers l'élément de surface sera égal au produit de l'aire de l'élément de surface par la composante perpendiculaire de la vitesse. Ensuite, le flux total (total) sur toute la surface sera égal au produit de la composante normale moyenne de la vitesse, que nous compterons de l'intérieur vers l'extérieur, par la surface totale.

Revenons maintenant au champ électrique. Le champ électrique, bien sûr, ne peut pas être considéré comme la vitesse d'écoulement d'un liquide, mais nous sommes en droit d'introduire un concept mathématique de l'écoulement, similaire à ce que nous avons décrit ci-dessus comme l'écoulement de la vitesse du liquide.

Ce n'est que dans le cas d'un champ électrique que son flux peut être déterminé par la composante normale moyenne de l'intensité du champ électrique E. De plus, le flux du champ électrique peut être déterminé non pas nécessairement à travers une surface fermée, mais à travers toute surface délimitée de zone non nulle S .

Circulation d'un champ vectoriel

Il est bien connu de tous que, pour plus de clarté, les champs peuvent être représentés sous la forme de lignes dites de force, en chaque point desquelles la direction de la tangente coïncide avec la direction de l'intensité du champ.

Reprenons l'analogie du fluide et imaginons le champ de vitesse du fluide.Posons-nous une question : le fluide circule-t-il ? Autrement dit, se déplace-t-il principalement dans la direction d'une boucle fermée imaginaire ?

Pour plus de clarté, imaginons que le liquide dans un grand récipient se déplace d'une manière ou d'une autre (Fig. A) et que nous avons soudainement gelé presque tout son volume, mais avons réussi à laisser le volume non gelé sous la forme d'un tube uniformément fermé dans lequel il n'y a pas frottement du liquide sur les parois (fig. b).

A l'extérieur de ce tube, le liquide s'est transformé en glace et ne peut donc plus bouger, mais à l'intérieur du tube le liquide est capable de continuer son mouvement, à condition qu'il y ait une impulsion dominante qui l'entraîne, par exemple, dans le sens des aiguilles d'une montre (Fig. .°C). Ensuite, le produit de la vitesse du fluide dans le tube et de la longueur du tube sera appelé la circulation de la vitesse du fluide.

De même, nous pouvons définir une circulation pour un champ vectoriel, bien que là encore le champ ne puisse être considéré comme la vitesse de quoi que ce soit, nous pouvons néanmoins définir la caractéristique mathématique de la "circulation" le long d'un contour.

Ainsi, la circulation d'un champ vectoriel le long d'une boucle fermée imaginaire peut être définie comme le produit de la composante tangentielle moyenne du vecteur dans la direction de passage de la boucle — par la longueur de la boucle.