La loi de Biot-Savart et le théorème de la circulation du vecteur induction magnétique

En 1820, les scientifiques français Jean-Baptiste Biot et Félix Savard, au cours d'expériences conjointes pour étudier les champs magnétiques des courants continus, ont établi sans équivoque que l'induction magnétique d'un courant continu traversant un conducteur peut être considérée comme le résultat de la action générale de toutes les sections de ce fil avec courant. Cela signifie que le champ magnétique obéit au principe de superposition (principe de superposition des champs).

Le champ magnétique créé par un groupe de fils CC a les éléments suivants induction magnétiqueque sa valeur est définie comme la somme vectorielle des inductions magnétiques créées par chaque conducteur séparément. C'est-à-dire que l'induction B du conducteur de courant continu peut être représentée équitablement par la somme vectorielle des inductions élémentaires dB appartenant aux sections élémentaires dl du conducteur de courant continu I considéré.

Il est pratiquement irréaliste d'isoler une section élémentaire d'un conducteur de courant continu, car DC toujours fermé.Mais vous pouvez mesurer l'induction magnétique totale créée par un fil, c'est-à-dire générée par toutes les parties élémentaires d'un fil donné.

Ainsi, la loi de Biot-Sovar permet de trouver la valeur de l'induction magnétique B de la section (longueur connue dl) du conducteur, avec un courant continu I donné, à une certaine distance r de cette section du conducteur et dans un certaine direction d'observation à partir de la section sélectionnée (définie par le sinus de l'angle entre la direction du courant et la direction de la section du conducteur au point examiné dans l'espace proche du conducteur):

Il a été établi expérimentalement que la direction du vecteur d'induction magnétique est facilement déterminée par la règle de la vis ou du cardan à droite: si le sens du mouvement de translation du cardan lors de sa rotation coïncide avec le sens du courant continu I dans le fil, alors sens de rotation de la poignée du cardan détermine la direction du vecteur d'induction magnétique B produit par un courant donné.

Le champ magnétique d'un fil porteur de courant droit, ainsi qu'une illustration de l'application de la loi de Bio-Savart à celui-ci, sont représentés sur la figure:

Donc, si nous intégrons, c'est-à-dire ajoutons, la contribution de chacune des petites sections d'un conducteur de courant constant au champ magnétique total, nous obtenons une formule pour trouver l'induction magnétique d'un conducteur de courant à un certain rayon R de celui-ci .

De la même manière, en utilisant la loi de Bio-Savard, vous pouvez calculer les inductions magnétiques à partir de courants continus de différentes configurations et en certains points de l'espace, par exemple, l'induction magnétique au centre d'un circuit circulaire avec un courant est trouvée par le formule suivante :

La direction du vecteur d'induction magnétique est facilement trouvée selon la règle du cardan, seulement maintenant le cardan doit être tourné dans la direction du courant fermé, et le mouvement vers l'avant du cardan montrera la direction du vecteur d'induction magnétique.

Souvent, les calculs par rapport au champ magnétique peuvent être simplifiés si l'on tient compte de la symétrie de la configuration des courants donnée par le champ générateur. Ici, vous pouvez utiliser le théorème de la circulation du vecteur d'induction magnétique (comme le théorème de Gauss en électrostatique). Qu'est-ce que la « circulation du vecteur d'induction magnétique » ?

Choisissons dans l'espace une certaine boucle fermée de forme arbitraire et indiquons conditionnellement le sens positif de son parcours.Pour chaque point de cette boucle, vous pouvez trouver la projection du vecteur d'induction magnétique B sur la tangente à la boucle en ce point. Alors la somme des produits de ces grandeurs par les longueurs élémentaires de toutes les sections du contour est la circulation du vecteur d'induction magnétique B le long de ce contour :

Pratiquement tous les courants qui créent ici un champ magnétique général peuvent soit pénétrer dans le circuit considéré, soit certains d'entre eux peuvent être à l'extérieur de celui-ci. Selon le théorème de circulation : la circulation du vecteur d'induction magnétique B de courants continus dans une boucle fermée est numériquement égale au produit de la constante magnétique mu0 par la somme de tous les courants continus qui pénètrent dans la boucle. Ce théorème a été formulé par André Marie Ampère en 1826 :

Considérez la figure ci-dessus. Ici, les courants I1 et I2 pénètrent dans le circuit, mais ils sont dirigés dans des directions différentes, ce qui signifie qu'ils ont des signes conditionnellement différents.Le signe positif aura un courant dont le sens d'induction magnétique (selon la règle de base) coïncide avec le sens de la dérivation du circuit sélectionné. Dans cette situation, le théorème de circulation prend la forme :

De manière générale, le théorème de circulation du vecteur d'induction magnétique B découle du principe de superposition des champs magnétiques et de la loi de Biot-Savard.

Par exemple, nous dérivons la formule de l'induction magnétique d'un conducteur de courant continu. Choisissons un contour en forme de cercle, par le centre duquel ce fil passe, et le fil est perpendiculaire au plan du contour.

Ainsi, le centre du cercle se situe directement au centre du conducteur, c'est-à-dire dans le conducteur. L'image étant symétrique, le vecteur B est dirigé tangentiellement au cercle, et sa projection sur la tangente est donc la même partout et est égale à la longueur du vecteur B. Le théorème de circulation s'écrit :

Par conséquent, la formule de l'induction magnétique d'un conducteur droit à courant continu suit (cette formule a déjà été donnée ci-dessus). De même, en utilisant le théorème de circulation, on peut facilement trouver les inductions magnétiques de configurations DC symétriques où l'image des lignes de champ est facile à visualiser.

L'un des exemples pratiquement importants de l'application du théorème de circulation est de trouver le champ magnétique à l'intérieur d'un inducteur toroïdal.

Supposons qu'il y ait une bobine toroïdale enroulée ronde à ronde sur un cadre en carton en forme de beignet avec le nombre de tours N. Dans cette configuration, les lignes d'induction magnétique sont enfermées à l'intérieur du beignet et sont concentriques (les unes dans les autres) en forme de cercles .

Si vous regardez dans la direction du vecteur d'induction magnétique le long de l'axe intérieur du beignet, il s'avère que le courant est dirigé partout dans le sens des aiguilles d'une montre (selon la règle du cardan). Considérez l'une des lignes (en rouge) d'induction magnétique à l'intérieur de la bobine et choisissez-la comme une boucle circulaire de rayon r. Alors le théorème de circulation pour un circuit donné s'écrit :

Et l'induction magnétique du champ à l'intérieur de la bobine sera égale à :

Pour une bobine toroïdale mince, où le champ magnétique est presque uniforme sur toute sa section, il est possible d'écrire l'expression de l'induction magnétique comme pour un solénoïde infiniment long, en tenant compte du nombre de spires par unité de longueur — n :

Considérons maintenant un solénoïde infiniment long où le champ magnétique est entièrement à l'intérieur. Nous appliquons le théorème de circulation au contour rectangulaire sélectionné.

Ici, le vecteur d'induction magnétique donnera une projection non nulle uniquement sur le côté 2 (sa longueur est égale à L). En utilisant le paramètre n — « le nombre de spires par unité de longueur », nous obtenons une telle forme du théorème de circulation, qui se réduit finalement à la même forme que pour une bobine toroïdale multitonCoy :