Systèmes de numération
Un système numérique est un ensemble de règles permettant de représenter des nombres à l'aide de différents signes numériques. Les systèmes de numération sont classés en deux types : non positionnels et positionnels.
Dans les systèmes de numérotation positionnelle, la valeur de chaque chiffre ne dépend pas de la position qu'il occupe, c'est-à-dire de la place qu'il occupe dans l'ensemble des chiffres. Dans le système numérique romain, il n'y a que sept chiffres : un (I), cinq (V), dix (X), cinquante (L), cent (C), cinq cent (D), mille (M). En utilisant ces nombres (symboles), les nombres restants sont écrits par addition et soustraction. Par exemple, IV est la notation du nombre 4 (V — I), VI est le nombre 6 (V + I), et ainsi de suite. Le nombre 666 s'écrit dans le système romain comme suit : DCLXVI.
Cette notation est moins pratique que celle que nous utilisons actuellement. Ici six s'écrit avec un symbole (VI), six dizaines avec un autre (LX), six cent tiers (DC). Il est très difficile d'effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres écrits dans le système de chiffres romains. De plus, un inconvénient commun des systèmes non positionnels est la complexité de la représentation de nombres suffisamment grands pour qu'il en résulte une notation extrêmement lourde.
Considérons maintenant le même nombre 666 dans le système de numération positionnel. Dans celui-ci, un seul signe 6 signifie le nombre d'unités s'il est à la dernière place, le nombre de dizaines s'il est à l'avant-dernière place et le nombre de centaines s'il est à la troisième place à partir de la fin. Ce principe d'écriture des nombres est appelé positionnel (local). Dans un tel enregistrement, chaque chiffre reçoit une valeur numérique qui dépend non seulement de son style, mais aussi de l'endroit où il se trouve lorsque le nombre est écrit.
Dans le système de nombres positionnels, tout nombre représenté par A = +a1a2a3 … ann-1an peut être représenté comme une somme
où n — nombre fini de chiffres dans l'image d'un nombre, ii nombre chiffre i-go, d — base du système de numération, i — nombre ordinal de la catégorie, dm-i — "poids" de la catégorie i-ro . Les chiffres ai doivent satisfaire l'inégalité 0 <= a <= (d — 1).
Pour la notation décimale, d = 10 et ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Étant donné que les nombres composés de uns et de zéros peuvent être perçus comme des nombres décimaux ou binaires lorsqu'ils sont utilisés ensemble, la base du système de numération est généralement indiquée, par exemple (1100)2-binaire, (1100)10-décimal.
Dans les ordinateurs numériques, les systèmes autres que décimaux sont largement utilisés : binaire, octal et hexadécimal.
Système binaire
Pour ce système d = 2 et ici seuls deux chiffres sont autorisés, c'est-à-dire ai = 0 ou 1.
Tout nombre exprimé dans le système binaire est représenté comme la somme du produit de la puissance de base par deux fois le chiffre binaire du bit donné. Par exemple, le nombre 101,01 peut s'écrire ainsi : 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, ce qui correspond au nombre dans le système décimal : 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .
Dans la plupart des ordinateurs numériques modernes, le système de numération binaire est utilisé pour représenter des nombres dans une machine et effectuer des opérations arithmétiques sur ceux-ci.
Le système de numération binaire, par rapport au système décimal, permet de simplifier les circuits et les circuits du dispositif arithmétique et du dispositif de mémoire et d'augmenter la fiabilité de l'ordinateur. Le chiffre de chaque bit d'un nombre binaire est représenté par les états «on / off» d'éléments tels que des transistors, des diodes, qui fonctionnent de manière fiable dans les états «on / off». Les inconvénients du système binaire incluent la nécessité de traduire selon un programme spécial les données numériques d'origine dans le système de nombre binaire et les résultats de la décision en décimal.
Système de numération octale
Ce système a une base d == 8. Les nombres sont utilisés pour représenter les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Le système de numération octale est utilisé dans l'ordinateur pour aider à préparer des problèmes à résoudre (dans le processus de programmation), à vérifier le fonctionnement d'une machine et à déboguer un programme. Ce système donne une représentation plus courte du nombre que le système binaire. Le système de nombre octal vous permet de passer simplement au système binaire.
Système de numération hexadécimal
Ce système a la base d = 16. 16 caractères sont utilisés pour représenter les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, et le les caractères A … F représentent les nombres décimaux 10, 11, 12, 13, 14 et 15. Le nombre hexadécimal (1D4F) 18 correspondra au nombre décimal 7503 car (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10
La notation hexadécimale permet d'écrire les nombres binaires de manière plus compacte que l'octal. Il trouve une application dans les dispositifs d'entrée et de sortie et les dispositifs d'affichage de l'ordre des numéros de certains ordinateurs.
Système de numération binaire-décimal
La représentation des nombres dans le système binaire-décimal est la suivante. La notation décimale du nombre est prise comme base, puis chacun de ses chiffres (de 0 à 9) est écrit sous la forme d'un nombre binaire à quatre chiffres appelé tétrade, c'est-à-dire qu'aucun signe n'est utilisé pour représenter chaque chiffre du système décimal, mais quatre.
Par exemple, la décimale 647,59 correspondrait à BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
Le système de numération binaire-décimal est utilisé comme système de numération intermédiaire et pour coder les nombres d'entrée et de sortie.
Règles de transfert d'un système de numérotation à un autre
L'échange d'informations entre les appareils informatiques s'effectue principalement par le biais de nombres représentés dans le système de nombres binaires. Cependant, les informations sont présentées à l'utilisateur sous forme de nombres dans le système décimal et l'adressage des commandes est présenté dans le système octal. D'où la nécessité de transférer des numéros d'un système à un autre dans le processus de travail avec un ordinateur. Pour ce faire, utilisez la règle générale suivante.
Pour convertir un nombre entier d'un système de numération quelconque à un autre, il faut successivement diviser ce nombre par la base du nouveau système jusqu'à ce que le quotient ne soit pas inférieur au diviseur. Le nombre dans le nouveau système doit être écrit sous forme de restes de division, en commençant par le dernier, c'est-à-dire de droite à gauche.
Par exemple, convertissons le nombre décimal 1987 en binaire :
Le nombre décimal 1987 au format binaire est 11111000011, c'est-à-dire (1987)10 = (11111000011)2
Lors du passage de n'importe quel système au décimal, le nombre est représenté comme la somme des puissances de la base avec les coefficients correspondants, puis la valeur de la somme est calculée.
Par exemple, convertissons le nombre octal 123 en décimal : (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, c'est-à-dire (123)8 = (83)10
Pour transférer la partie fractionnaire d'un nombre d'un système à un autre, il est nécessaire d'effectuer une multiplication successive de cette fraction et des parties fractionnaires résultantes du produit en fonction du nouveau système numérique. La partie fractionnaire d'un nombre dans le nouveau système est formée sous la forme de parties entières des produits résultants, à partir du premier. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce qu'un nombre avec une précision donnée soit calculé.
Par exemple, convertissons la fraction décimale 0,65625 dans le système de numération binaire :
Étant donné que la partie fractionnaire du cinquième produit se compose uniquement de zéros, une multiplication supplémentaire est inutile. Cela signifie que la décimale donnée est convertie en binaire sans erreur, c'est-à-dire (0,65625)10 = (0,10101)2.
La conversion d'octal et d'hexadécimal en binaire et vice versa n'est pas difficile. En effet, leurs bases (d = 8 et d = 16) correspondent à des entiers de deux (23 = 8 et 24 = 16).
Pour convertir des nombres octaux ou hexadécimaux en binaire, il suffit de remplacer chacun de leurs nombres par un nombre binaire à trois ou quatre chiffres, respectivement.
Par exemple, traduisons le nombre octal (571)8 et le nombre hexadécimal (179)16 dans le système de numération binaire.
Dans les deux cas, nous obtenons le même résultat, c'est-à-dire (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Pour convertir un nombre de binaire-décimal en décimal, vous devez remplacer chaque tétrade du nombre représenté en binaire-décimal par un chiffre représenté en décimal.
Par exemple, écrivons le nombre (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 en notation décimale, c'est-à-dire (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218 625)